疯狂的计算: 手撕常见分布

前置

组合数学相关

$$k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1} \notag$$

直观理解：这相当于“从 $n$ 个人里选择一个 $k$ 人小组，并且从这个小组中选出一个组长”，与“先从 $n$ 个人中选择 $1$ 个人做组长，再从剩下的 $n-1$ 个人中选出 $k-1$ 个人给他当组员”是同一件事。

$$k(k-1)\binom{n}{k}=n(n-1)\binom{n-2}{k-2} \notag$$

直观理解：这相当于“从 $n$ 个人里选择一个 $k$ 人小组，并且从这个小组中选出有顺序的两个人，例如组长和副组长”，与“先从 $n$ 个人中选择 $1$ 个人做组长，再从剩下的 $n-1$ 个人中选择 $1$ 个人做副组长，最后从剩下的 $n-2$ 个人中选出 $k-2$ 个普通组员”是同一件事。

常用级数

指数函数的幂级数展开：

$$e^x=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^m}{m!} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \notag$$

常用极限

经典极限：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e \notag$$

进一步可推出：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a \notag$$

证明：

令 $m=\frac{n}{a}$，则当 $n\to\infty$ 时，$m\to\infty$。于是

$$\left(1+\frac{a}{n}\right)^n = \left(1+\frac{1}{m}\right)^{am} = \left[\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\right]^a \to e^a \notag$$

因此：

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a \notag$$

期望、方差的定义和运算规则

离散随机变量期望

若离散随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1,x_2,\dots$，且

$$P(X=x_i)=p_i \notag$$

则 $X$ 的期望为：

$$E(X)=\sum_i x_i p_i \notag$$

连续随机变量期望

若连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$，则：

$$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x)\,dx \notag$$

方差

$$D(X)=\operatorname{Var}(X)=E[(X-E(X))^2] \notag$$

等价为：

$$D(X)=E(X^2)-E^2(X) \notag$$

期望的运算规则

期望是线性算子，即：

$$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) \notag$$

注意：期望的线性性不要求随机变量之间相互独立。

特别地：

$$E(aX+b)=aE(X)+b \notag$$

方差的运算规则

对于常数 $a,b$，有：

$$D(aX+b)=a^2D(X) \notag$$

对于两个随机变量 $X,Y$，一般有：

$$D(aX+bY) = a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y) \notag$$

其中协方差定义为：

$$\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X,Y) &=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] \\[8pt] &=E(XY)-E(X)E(Y) \end{aligned}\notag$$

常用裂项

$$x^2 = x(x-1)+x \notag$$

常见分布与其数字特征的推导