Jacobi 行列式、概率论与卷积

Jacobi 行列式与二重积分的一般换元法

设 $F$ 与 $G$ 是关于变量 $x$、$y$ 的可微函数，下面这个行列式称为函数 $F$ 与 $G$ 关于 $x$ 和 $y$ 的 Jacobi 行列式。

$$\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\[4pt] \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y} \end{vmatrix} \notag$$

如果变换

$$T:\;\begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \end{cases} \notag$$

建立了 $uOv$ 平面上的区域 $D'$ 与 $xOy$ 平面上的区域 $D$ 之间的双射，且 $x(u,v)$、$y(u,v)$ 具有连续偏导数，Jacobi 行列式 $\dfrac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$ 在 $D'$ 内不为零，则有二重积分的一般换元公式

$$\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint_{D'} f\big(x(u,v), y(u,v)\big) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \notag$$

二维连续型随机变量的分布

设 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$，$Z = g(X,Y)$，假设对任意固定的 $x$，$y \mapsto g(x,y)$ 关于 $y$ 严格单调，那么存在映射 $h$ 满足 $y = h(x,z)$。可通过下面的方法求 $f_Z(z)$。

$$\begin{aligned} f_Z(z) = \frac{dF_Z(z)}{dz} &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{F_Z(z + \Delta z) - F_Z(z)}{\Delta z} \\[6pt] &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{P\{z \leq Z \leq z + \Delta z\}}{\Delta z}\\[6pt] &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{1}{\Delta z} \iint_{D_{z,\Delta z}^{(xy)}} f(x,y)\,dx\,dy \end{aligned}\notag$$

其中 $D_{z,\Delta z}^{(xy)} = \{ (x,y) \mid z \leq g(x,y) \leq z + \Delta z \}$，做代换

$$T:\;\begin{cases} x = u \\ y = h(u, v) \end{cases} \notag$$ $$\begin{aligned} f_Z(z) &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{1}{\Delta z} \iint_{D_{z,\Delta z}^{(xy)}} f(x,y)\,dx\,dy \\[8pt] &= \lim_{\Delta z \to 0}\frac{1}{\Delta z}\iint_{D_{z,\Delta z}^{'(uv)}} f(u,h(u,v)) \left|\frac{\partial{(x,y)}}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv\\[8pt] &= \lim_{\Delta z \to 0}\frac{1}{\Delta z}\iint_{D_{z,\Delta z}^{'(uv)}} f(u,h(u,v)) \left|\det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[8pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}\right|\,du\,dv\\[8pt] &= \lim_{\Delta z \to 0}\frac{1}{\Delta z}\iint_{D_{z,\Delta z}^{'(uv)}} f(u,h(u,v)) \left|\frac{\partial h(u,v)}{\partial v}\right|\,du\,dv\\[8pt] \end{aligned}\notag$$

上面的代换 $T$ 满足 $g(x,y)=v$，也就是说

$$D_{z,\Delta z}^{(xy)} = \{ (x,y) \mid z \leq g(x,y) \leq z + \Delta z \}\notag$$

在 $uv$ 平面中变成

$$D_{z,\Delta z}^{'(uv)} = \{ (u,v) \mid z \leq v \leq z + \Delta z \}\notag$$ $$\begin{aligned} f_Z(z) &=\lim_{\Delta z\to 0} \frac{1}{\Delta z} \iint_{D_{z,\Delta z}^{\prime(uv)}} f(u,h(u,v)) \left| \frac{\partial h(u,v)}{\partial v} \right| \,du\,dv \\[8pt] &= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{1}{\Delta z} \int_z^{z+\Delta z} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(u,h(u,v)) \left| \frac{\partial h(u,v)}{\partial v} \right| \,du \right]dv\\[8pt] &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{1}{\Delta z} \int_z^{z+\Delta z} \Phi(v) dv\\[8pt] &= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{1}{\Delta z} \Phi(\xi)\Delta z\quad \text{（积分中值定理）}\\[8pt] &= \Phi(z) \\[8pt] &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(u,h(u,z)) \left| \frac{\partial h(u,z)}{\partial z} \right| \,du \end{aligned}\notag$$

上面这个就是二维随机变量函数密度的一般公式

$$\boxed{f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, h(x,z)) \left|\frac{\partial h(x,z)}{\partial z}\right| dx}\notag$$

这个公式并不要求变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

跟卷积的关联

如果 $Z = X + Y$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，此时一般公式中的偏导数因子 $\left| \dfrac{\partial h(x,z)}{\partial z}\right | = 1$ 。一般公式可化简为

$$\begin{aligned} f_Z(z) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) dx \\[8pt] &= \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx \\[8pt] &= (f_X * f_Y) (z) \end{aligned}\notag$$

上式即为教材上常见的卷积公式。